多元复合函数的微分法PPT
基本概念1. 多元函数定义：设 $D$ 是 $n$ 维空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中的一个点集，如果对于每一个点 $P(x_{1}, x_{2...
基本概念1. 多元函数定义：设 $D$ 是 $n$ 维空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中的一个点集，如果对于每一个点 $P(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) \in D$，变量 $z$ 按照某种对应关系 $f$ 总有一个确定的值和它对应，则称 $z$ 为变量 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 的函数，记作$z = f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$其中 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 称为自变量，$z$ 称为因变量，$D$ 称为函数的定义域，集合${(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, z) | z = f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) \in D}$称为函数的图形，简称函数的图。2. 偏导数定义：设函数 $z = f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ 在点 $P(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ 的某一邻域内有定义，当固定 $x_{2}, \ldots, x_{n}$ 而 $x_{1}$ 在 $x_{1}$ 处有增量 $\Delta x_{1}$ 时，相应地函数 $z$ 有增量（称为对 $x_{1}$ 的偏增量）$\Delta z = f(x_{1} + \Delta x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) - f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$如果 $\lim_{\Delta x_{1} \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta x_{1}}$ 存在，则称此极限为函数 $z = f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ 在点 $P(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ 处对 $x_{1}$ 的偏导数，记作 $f_{x_{1}}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ 或 $\frac{\partial z}{\partial x_{1}}$，即$f_{x_{1}}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) = \lim_{\Delta x_{1} \to 0} \frac{f(x_{1} + \Delta x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) - f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})}{\Delta x_{1}}$类似地，可以定义函数 $z = f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ 在点 $P(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ 处对 $x_{2}, \ldots, x_{n}$ 的偏导数。3. 全微分定义：如果函数 $z = f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ 在点 $P(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ 的某邻域内各偏导数都存在，则称函数在该点可微，且$\Delta z = f(x_{1} + \Delta x_{1}, x_{2} + \Delta x_{2}, \ldots, x_{n} + \Delta x_{n}) - f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$是 $\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, \ldots, \Delta x_{n}$ 的线性函数，即$\Delta z = A_{1} \Delta x_{1} + A_{2} \Delta x_{2} + \ldots + A_{n} \Delta x_{n} + o(\rho)$其中 $A_{i} = f_{x_{i}}(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}), i = 1, 2, \ldots, n$，$\rho = \sqrt{(\Delta x_{1})^{2} + (\Delta x_{2})^{2} + \ldots + (\Delta x_{n})^{2}}$，$o(\rho)$ 是 $\rho$ 的高阶无穷小。多元复合函数的求导法则链式法则定理（链式法则）：设函数 $u = g(x, y), v = h(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 可微，函数 $z = f(u, v)$ 在对应点 $Q(u, v)$ 可微，则复合函数$z = f[g(x, y), h(x, y)]$在点 $P(x, y)$ 可微，且其全微分为$dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv$其中$du = g_{x}(x, y) dx + g_{y}(x, y) dy, \quad dv = h_{x}(x, y) dx + h_{y}(x, y) dy$因此，$dz = \left[ \frac{\partial z}{\partial u} g_{x}(x, y) + \frac{\partial z}{\partial v} h_{x}(x, y) \right] dx + \left[ \frac{\partial z}{\partial u} g_{y}(x, y) + \frac{\partial z}{\partial v} h_{y}(x, y) \right] dy$全微分的系数即为复合函数的偏导数，故有$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} g_{x}(x, y) + \frac{\partial z}{\partial v} h_{x}(x, y), \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} g_{y}(x, y) + \frac{\partial z}{\partial v} h_{y}(x, y)$这就是多元复合函数求偏导数的链式法则。2. 隐函数求导法则定理（隐函数求导法则）：设函数 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 的邻域内连续，且 $F_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \neq 0$，则方程 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 的邻域内确定了一个隐函数 $z = f(x, y)$，且 $f(x, y)$ 在点 $P(x_{0}, y_{0})$ 可微，其偏导数为$f_{x}(x_{0}, y_{0}) = -\frac{F_{x}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{F_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}, \quad f_{y}(x_{0}, y_{0}) = -\frac{F_{y}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{F_{z}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}$3. 偏导数的几何意义在二元函数中，偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在几何上分别表示函数图像在点 $P(x, y)$ 处沿 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的变化率。具体地，设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P(x_{0}, y_{0})$ 处可微，则过点 $P$ 可作两平面，它们分别与 $xOy$ 平面垂直且平行于 $x$ 轴和 $y$ 轴。这两平面与函数图像 $z = f(x, y)$ 的交线在点 $P$ 处的切线斜率分别就是 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。4. 高阶偏导数高阶偏导数是对多元函数进行多次偏微分得到的导数。对于二元函数 $z = f(x, y)$，其二阶偏导数有四种：$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$。其中，$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 和 $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ 通常相等，即函数的二阶混合偏导数与求导次序无关。以上是多元复合函数的微分法的基本内容，包括基本概念、求导法则
