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导数的定义给定函数$f(x)$，若极限$$\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\...

导数的定义给定函数$f(x)$，若极限$$\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$存在，则称该极限为函数$f(x)$在$x$处的导数，记作$f'(x)$或$df/dx$。 导数的计算例子 1: 多项式函数对于$f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x$，求其导数$f'(x)$。解：$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) = 3x^2 + 4x - 5$$### 例子 2: 三角函数对于$f(x) = \sin x$，求其导数$f'(x)$。解：$$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$## 3. 导数的应用例子 1: 极大值与极小值求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$的极大值与极小值。解：求导数$f'(x) = 3x^2 - 6x$解方程$f'(x) = 0$得$x = 0$或$x = 2$判断$f(x)$在$(-\infty0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$上的单调性，得$f(x)$在$x=0$处取得极大值$f(0) = 2$，在$x=2$处取得极小值$f(2) = -2$例子 2: 曲线斜率求曲线$y = x^2$在点$(2, 4)$处的切线斜率。解：求导数$y' = 2x$代入$x = 2$得切线斜率$y'|_{x=2} = 4$ 积分定义函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的定积分记作$$\int_a^b f(x) , dx$$表示函数$y = f(x)$与$x$轴在区间$[a, b]$上围成的曲边梯形的面积。性质$\int_a^a f(x)dx = 0$$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x) , dx$$\int_a^b [f(x) + g(x)]dx = \int_a^b f(x) , dx + \int_a^b g(x) , dx$计算计算$\int_0^2 (x^2 - 3x + 1) , dx$。解：$$\int_0^2 (x^2 - 3x + 1) , dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 6 + 2 = -\frac{4}{3}$$#### 例子 2: 幂函数计算$\int_1^4 \frac{1}{x} , dx$。解：$$\int_1^4 \frac{1}{x} , dx = [\ln |x|]_1^4 = \ln 4 - \ln 1 = \ln 4$$