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多维随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述多个随机现象同时发生时的规律。与一维随机变量相比，多维随机变量能够更全面地反映多个随机变量之间的相互关...

多维随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述多个随机现象同时发生时的规律。与一维随机变量相比，多维随机变量能够更全面地反映多个随机变量之间的相互关系，因此在实际应用中具有广泛的用途。定义多维随机变量是由多个一维随机变量构成的向量，记为 $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$，其中 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是一维随机变量。多维随机变量的取值是一个n维实数向量，记为 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$。分布函数多维随机变量的分布函数是描述多维随机变量取值的概率规律的函数。常见的多维随机变量分布函数有联合分布函数、联合概率密度函数等。联合分布函数设 $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 是一个n维随机变量，对于任意n个实数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，称$$F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = P{X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \ldots, X_n \leq x_n}$$为 $\mathbf{X}$ 的联合分布函数。联合分布函数满足以下性质：$0 \leq F(x_1x_2, \ldots, x_n) \leq 1$$F(-\inftyx_2, \ldots, x_n) = F(x_1, -\infty, \ldots, x_n) = \ldots = F(x_1, x_2, \ldots, -\infty) = 0$$F(+\inftyx_2, \ldots, x_n) = F(x_1, +\infty, \ldots, x_n) = \ldots = F(x_1, x_2, \ldots, +\infty) = 1$若 $x_1 < y_1x_2 < y_2, \ldots, x_n < y_n$，则 $F(x_1, x_2, \ldots, x_n) \leq F(y_1, y_2, \ldots, y_n)$联合概率密度函数如果联合分布函数 $F(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 对所有的变量 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 都是可导的，那么称 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \frac{\partial^n F(x_1, x_2, \ldots, x_n)}{\partial x_1 \partial x_2 \ldots \partial x_n}$ 为 $\mathbf{X}$ 的联合概率密度函数。联合概率密度函数具有以下性质：$f(x_1x_2, \ldots, x_n) \geq 0$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1x_2, \ldots, x_n) , dx_1 , dx_2 \ldots dx_n = 1$边缘分布多维随机变量的边缘分布是指多维随机变量中某个或某些分量单独出现的概率分布。设 $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ 是一个n维随机变量，$X_i$ 的边缘分布函数和边缘概率密度函数分别为 $F_i(x_i)$ 和 $f_i(x_i)$，则有：$$F_i(x_i) = P{X_i \leq x_i} = F(x_i, +\infty, \ldots, +\infty)$$$$f_i(x_i) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \ldots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_1, x_2, \ldots, x_n) , dx_1 _{i-1} , dx_{i+1} \ldots dx_n$$条件分布多维随机变量的条件分布是指在已知某些分量取值的情况下，其他分量的概率分布。设 $\mathbf{X} =