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第一部分：解题思路&问题建模题目1：求极限给定一个函数 $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 + x^2}$，求其在 $x = ...

第一部分：解题思路&问题建模题目1：求极限给定一个函数 $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 + x^2}$，求其在 $x = 0$ 处的极限。解题思路：我们首先将分母和分子分别进行分解，然后约分，再求极限。使用罗毕赛法则，如果 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有极限 $L$，那么对于任何序列 $x_n$ 使得 $x_n \rightarrow 0$，有 $\lim f(x_n) = L$。第二部分 执行计算将 $f(x)$ 进行约分，得到：$f(x) = \frac{x(x + 1)}{x(x^2 + 1)} = \frac{x + 1}{x^2 + 1}$所以，当 $x = 0$ 时，极限为 $\frac{0 + 1}{0^2 + 1} = 1$。第三部分 整合答案对于 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的极限为1。第二部分：解题思路&问题建模题目2：求导数给定一个函数 $y = x^3 + x^2 + x + 1$，求其导数。解题思路：根据导数的定义，一个函数 $y = f(x)$ 的导数是 $f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$。对于给定的函数，我们可以使用这个定义来求导数。第二部分 执行计算使用导数的定义，对给定的函数求导数：$f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^3 + (x + \Delta x)^2 + (x + \Delta x) + 1 - (x^3 + x^2 + x + 1)}{\Delta x}$$= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (3x^2 + 2x + 1 + 3\Delta x x + 2\Delta x + \Delta x^2)$$= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (3x^2 + 2x + 1)$$= 3x^2 + 2x + 1$第三部分 整合答案所以，给定函数的导数为 $y' = 3x^2 + 2x + 1$。