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数列是数学中的一个重要概念，它是一系列按照某种规律排列的数字。在数列中，每个数字叫做项，相邻的项之间有着固定的间隔。数列的通项公式和求和公式是学习数列的关...

数列是数学中的一个重要概念，它是一系列按照某种规律排列的数字。在数列中，每个数字叫做项，相邻的项之间有着固定的间隔。数列的通项公式和求和公式是学习数列的关键。等差数列等差数列是最常见的一种数列，它的每一项与前一项的差是一个常数。这种数列的通项公式为：a_n = a_1 + (n - 1)d其中，a_1是首项，d是公差，n是项数。等差数列的求和公式为：S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)我们可以使用数学归纳法来证明这个求和公式：当n=1时S_1 = a_1，这与公式相符假设当n=k时公式成立，即：S_k = k/2 * (2a_1 + (k - 1)d)当n=k+1时根据等差数列的定义，有：S_{k+1} = S_k + a_k + a_{k+1}= k/2 * (2a_1 + (k - 1)d) + a_1 + (k + 1)d= (k+1)/2 * (2a_1 + kd)= (k+1)/2 * (2a_1 + kd + d) - d/2= (k+1)/2 * (2a_1 + kd) - d/2这与归纳假设相符，因此公式对所有正整数n都成立等比数列等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比值是一个常数。这种数列的通项公式为：a_n = a_1 * r^(n - 1)其中，a_1是首项，r是公比，n是项数。等比数列的求和公式为：S_n = a_1(1 - r^n) / (1 - r) 或 n*r^n - 1/(r - 1)我们可以使用等比数列的性质来证明这个求和公式：当r=1时S_n = na_1，这与公式相符假设当r不等于1时公式成立。根据等比数列的性质，有：S_{n+1} = a_1(1 - r^(n+1)) / (1 - r) 或 (n+1)r^(n+1) - 1/(r - 1)= a_1(1 - r^n) / (1 - r) * (1 - r) 或 nr^n * r - 1/(r - 1) * (r-1) / r= S_n * (1-r) / (r-1) 或 S_n * r - 1/r这与归纳假设相符，因此公式对所有正整数n都成立