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圆锥曲线是数学中的重要内容，而直线过定点的问题是其中的常见题型。下面通过一个具体的例题，讲解如何解决直线过定点的问题。题目：已知椭圆 C: x^2/4 +...

圆锥曲线是数学中的重要内容，而直线过定点的问题是其中的常见题型。下面通过一个具体的例题，讲解如何解决直线过定点的问题。题目：已知椭圆 C: x^2/4 + y^2/3 = 1，过点 P(0,1) 作直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点，O 为坐标原点。当 ∠AOB = 90° 时，求直线 l 的方程。解：确定点 P 在椭圆内的条件由于椭圆方程为 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，且点 $P(0,1)$ 在椭圆内部，因此满足条件 $\frac{0^2}{4} + \frac{1^2}{3} < 1$分类讨论直线 l 的斜率当直线 l 的斜率不存在时即直线 l 为竖直线 x=0，显然不满足条件 $\angle AOB = 90^{\circ}$当直线 l 的斜率存在时设其方程为 $y = kx + 1$联立方程求解交点联立椭圆方程 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ 和直线方程 $y = kx + 1$，得到二次方程 $(3 + 4k^2)x^2 + 8kx - 8 = 0$利用根与系数关系及向量的点积设交点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，则根据根与系数关系有 $x_1 + x_2 = -\frac{8k}{3 + 4k^2}$ 和 $x_1 x_2 = -\frac{8}{3 + 4k^2}$。又因为 $\angle AOB = 90^{\circ}$，则 $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = x_1 x_2 + (kx_1 + 1)(kx_2 + 1) = (k^2 + 1)x_1 x_2 + k(x_1 + x_2) + 1 = 0$求解斜率 k将 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 x_2$ 的表达式代入上述方程，解得 $k = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}$写出直线 l 的方程因此，直线 l 的方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}x + 1$验证结果将 $k = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}$ 代入 $y = kx + 1$，可得直线 l 的方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}x + 1$，与之前的解一致综上所述，直线 l 的方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}x + 1$。这道题目主要考察了直线与圆锥曲线的位置关系、向量的点积以及根与系数的关系等知识点。通过分类讨论和联立方程的方法，我们可以找到满足条件的直线方程。